Cómo calcular probabilidades de dados múltiples

Cómo calcular probabilidades de dados múltiples

Mucha gente piensa que si tiras tres dados de seis caras, tienes la misma oportunidad de tirar un tres que un diez. Este no es el caso, sin embargo, y este artículo le mostrará cómo calcular la media y la desviación estándar de un tablero de dados.

Del mismo modo, para tres o más dados, se aplica la misma fórmula, utilizando las probabilidades ahora conocidas para cada suma dada en un dado menos. Por lo tanto, la fórmula introducida en el paso dos puede rellenarse tanto hacia abajo como a través de ella hasta que la tabla incluya tantos datos como sea necesario.

Anote el número de dados, sus caras y la suma deseada.

Para un gran número de dados, el cálculo exacto por los métodos anteriores puede ser difícil. El teorema del límite central establece que la suma de un núme! ro de dados idénticos se acerca a una distribución normal a medida que aumenta el número de dados.

Escribir el polinomio, (1/r)(x x … x). Esta es la función generadora para un solo troquel. El coeficiente del término x es la probabilidad de que el dado muestre k.

Computacionalmente, esto es equivalente al método anterior, pero a veces los resultados teóricos son más fáciles de obtener con una función generadora. Por ejemplo, lanzar dos dados regulares de 6 caras tiene exactamente la misma distribución de sumas que un dado etiquetado (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4) y otro (1, 3, 4, 5, 6, 8). Esto se debe a que (x x x x x x)(x x x x x x) = (x x x x x x x)(x x x x x x).

Calcula la media y la variación estándar basada en el número y tipo de dados. Asumiendo n dados numerados de 1 a r, se aplican las siguientes fórmulas.

Utilice la distribución normal con la media y la desviación estándar como una aproximación de la suma de los dados.

! Enumere todas las formas en que se puede alcanzar esa suma. Es! to puede ser tedioso para un gran número de dados, pero es bastante sencillo. Esto es equivalente a encontrar todas las particiones de k en exactamente n partes con ninguna parte mayor que r. Un ejemplo para n=5, r=6, y k=12 se muestra como ejemplo. Para asegurar que el conteo sea exhaustivo y que ninguna partición se cuente dos veces, las particiones se presentan en orden lexicográfico y los dados en cada partición en orden no decreciente.

En la columna para 2 dados, usa la fórmula que se muestra. Es decir, la probabilidad de que 2 dados muestren cualquier suma k es igual a la suma de los siguientes eventos. Para valores muy altos o bajos de k, algunos o todos estos términos pueden ser cero, pero la fórmula es válida para todos los k.

Divida por el número total de resultados. Puesto que cada dado tiene r caras igualmente probables, esto es simplemente r.

Eleva este polinomio a la potencia n para obtener la función generadora correspondiente a la! suma mostrada en n dados. Eso es calcular (1/r)(x x x …. x). Si n es más grande que 2, probablemente querrá hacerlo en un ordenador.

La hoja de cálculo que se muestra calculó «número de vías» no «probabilidad», pero es fácil convertir entre ellas: probabilidad = número de vías / r^n donde r es número de caras en cada dado y n es el número de dados. Alternativamente, la hoja de cálculo puede ser modificada para calcular la probabilidad directamente.

No todas las particiones listadas en el paso anterior son igualmente probables. Es por eso que deben ser listados, no simplemente contados. En un ejemplo más pequeño de 3 matrices, la partición 123 cubre 6 posibilidades (123, 132, 213, 231, 312, 321) mientras que la partición 114 cubre sólo 3 (114, 141, 411) y la 222 sólo se incluye a sí misma. Utilice la fórmula multinomial para calcular el número de maneras de permutar los dígitos en cada partición. Esta información se ha añadido a la! tabla de la sección anterior.

Observe las probabilidades de los! resultados de un solo muñón. Regístralas en una hoja de cálculo. El ejemplo que se muestra utiliza dados de 6 caras. Las líneas en blanco para sumas negativas se tratan como ceros y permiten utilizar la misma fórmula en todas las líneas.

Sume el número total de maneras de obtener la suma deseada.